Cực trị của hàm số là kiến thức cơ bản bạn cần phải nắm rõ khi học về chương hàm số. Xác định được cực trị đồng nghĩa bạn có thêm một phần cơ hội giải đúng bài tập toán ấy. Vậy cực trị của hàm số là gì? Làm thế nào để tìm cực trị của hàm số? Các bạn hãy cùng lessonopoly tìm hiểu thông qua bài viết sau đây nhé!
Định nghĩa về cực trị của hàm số
Cực trị hàm số là một mảng kiến thức khá quan trọng của hàm số. Bao gồm nhiều dạng bài tập và điểm lý thuyết khó được đưa vào thường xuyên trong các đề thi toán học.
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy “sâu nhất” của hệ tọa độ.
Giá trị cực đại không phải giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu không phải giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Cực trị hàm một biến
Nếu đạo hàm cấp một của hàm f(x) tại x=x0 là f ‘(x0)=0 thì f(x0) là điểm dừng (hay điểm ổn định)(stationary value) của hàm f(x)[1].
Nếu đạo hàm cấp n của hàm f(x) tại x=x0 là f(n)(x0)≠0 thì điểm dừng f(x0) là[2]:
Cực đại địa phương nếu n là số chẵn và f(n)(x0)<0. Cực đại toàn cục nếu n là số chẵn và f(n)(x)<0
Cực tiểu địa phương nếu n là số chẵn và f(n)(x0)>0. Cực tiểu toàn cục nếu n là số chẵn và f(n)(x)>0
Điểm uốn nếu n là số lẻ.
Hãy cùng tham khảo video sau đây để hiểu hơn về cách tìm cực trị của hàm số các bạn nhé!
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0}, Khi đó, nếu y=f(x) đạt cực trị tại x0 thì f'(x0))=0. Điều ngược lại không đúng
Định lí 2
Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0; b)(Có thể không có đạo hàm tại x0 Khi đó :
– Nếu {f}'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
– Nếu {f}'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
Định lí 3
Giả sử hàm số y=f(x)có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x0, (Phải có đạo hàm tại x0) f'(x0)=0 và f”(x0) khác 0. Khi đó:
– Nếu f”(x0)<0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
– Nếu f”(x0)>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.
Chú ý
Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
Cách tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệu xi (i=1,2,3,…)là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f”(x) và f”(xi ) .
Bước 4. Dựa vào dấu của f”(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Xem thêm: Tổng hợp về bảng đạo hàm cơ bản và đầy đủ nhất
Xem thêm: Tổng hợp lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9, kèm bài tập vận dụng
Dấu hiệu nhận biết cực trị bởi đạo hàm bậc 2
Định lý: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a;b) chứa điểm, f(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0.
- a) Nếu f(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
- b) Nếu f(x0) < 0 hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
Các dạng bài tập về cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số
Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x^3 + 3x^2 – 4
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R.
Tính y’= -3x^2 + 6x.
Cho y’= 0⇔-3x^2 + 6x = 0
=> x = 0
x = 2
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0.
Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x^3 + 3x^3 – 3x + 2
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R.
Tính y’ = -3x^2 + 6x-3.
Cho y’= 0 => -3x^2+ 6x-3 = 0 => x = 1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.
Tập xác định D = R.
Tính y’ = 6x^2 – 6x – 12.
Cho y’= 0
=> x = -1
x = 2
Bảng biến thiên
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8), B(2;-19).
Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0.
Bài viết trên đã gửi đến bạn những kiến thức liên quan đến cách tìm cực trị của hàm số. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích được cho bạn. Xác định cực trị của hàm số là điều vô cùng quan trọng và luôn có mặt trong các đề thi. Các bạn hãy lưu ý những kiến thức trên để giải đề thật tốt nhé!
