Toán học

Các dạng bài tập logarit có lời giải

Dạng 1: Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số 

1. Định nghĩa

    Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình lôgarit cơ bản

    • loga x = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

    • loga f(x) = loga g(x) 

Các dạng bài tập logarit có lời giải

3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

    * Bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

    * Bước 2. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số.

    * Bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết cách giải.

    * Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ 1: Tính các giá trị sau:
 

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 2)

Lời giải

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 3)

Ví dụ 2:

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 4)

Lời giải

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 5)

Ví dụ 3: Giải phương trình

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 6)

Lời giải

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 7)

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {1;2}.

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

Phương trình loga[f(x)]=logb[g(x)] (với a>0;a≠1)

Ta đặt loga[f(x)]=logb[g(x)]=t

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 8)

Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) log3(x+1)=log2x. 

b) log5x=log7(x+2).

Lời giải

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 9)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 10)

Lời giải:

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 11)

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f[logag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1).

    • Bước 1: Đặt t = logag(x) (*).

    • Bước 2: Tìm điều kiện của t (nếu có).

READ  Giải và biện luận phương trình theo tham số m

    • Bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết cách giải.

    •Bước 4: Thay vào (*) để tìm x.

Một số lưu ý quan trọng khi biến đổi

    1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

    2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

    3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

    4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 12)
Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 13)
Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 14)

Ví dụ 3:Giải phương trình

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 15)

Lời giải:

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 16)

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit 

Giả sử phương trình có dạng f(x) = g(x)    (*)

    • Bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm không đổi. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Hoặc đưa phương trình về dạng f(x) = 0

    • Bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng minh f'(x) = 0 có nghiệm duy nhất và f'(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Hoặc:

    • Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

    • Bước 2: Chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log(3x+4) = 2

READ  Các bài toán tính nhanh lớp 4 có đáp án hay nhất

Lời giải

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 17)

Phương trình có một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f'(x) > 0, nên f(x) đồng biến trên tập xác định ;g(x)=2là hàm hằng. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Lời giải

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh18)

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng biến trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến trên tập xác định. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4.

Ví dụ 3:

Giải phương trình

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 19)

Lời giải

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 20)

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t có f'(t) > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 21)

Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là {1;2}

Dạng 5: Cách giải phương trình logarit chứa tham số

♦ Dạng toán Tìm m để phương trình có số nghiệm cho trước:

    • Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=A(m).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

    • Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

    • Bước 4. Kết luận các giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D.

♦ Lưu ý

    • Nếu hàm số y=f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

READ  Công thức lượng giác đầy đủ nhất cho lớp 9, lớp 10, lớp 11
Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 22)

    • Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai với lưu ý sau.

♦ Nhắc lại: Phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 23)

Hoặc sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai:

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 24)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tham số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m = 0 có nghiệm.

Lời giải

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Khi đó phương trình trở thành t2+t+m=0 (*)

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Ví dụ 2: Tìm tham số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.

Lời giải

Điều kiện: 5x-1 > 0 ⇔ x > 0

log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m

⇔ log2(5x-1) 1/2 log2(2(5x-1))=m

⇔ log2(5x-1)(1+log2(5x-1))=2m

⇔ log22 (5x-1)+log2(5x-1)=2m

Đặt log2(5x-1) = t. Khi đó phương trình đã cho trở thành t2+ t- 2m = 0    (*)

Phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1 khi phương trình (*)có nghiệm

Các dạng bài tập logarit có lời giải (ảnh 25)

Vậy phương trình có nghiệm thực x ≥ 1 thì m ≥ 3.

See more articles in category: Toán học

Đặng Gia Nghi

Mình là cô nàng Cự Giải thích nấu ăn và có kinh nghiệm về giảm cân. Từ lâu mình đã tìm hiểu về các phương pháp giảm cân, Hàm lượng calo trong từng món ăn. Nên loạt bài mình chia sẻ về Hàm lượng calo có trong từng món ăn hy vọng sẽ giúp ích được các bạn. Đây là blog mới mình chia sẻ về làm đẹp, cả nhà ủng hộ nhé!

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button