Để nắm vững kiến thức hình bình hành trong chương trình toán hình lớp 8, mời các em theo dõi tất cả những nội dung về bài Hình bình hành: Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết, chu vi, diện tích hình bình hành và chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Định nghĩa hình bình hành
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
Ví dụ: Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB//CD và AD//BC.
Tính chất hình bình hành
Trong hình bình hành có 3 tính chất:
- Các cạnh đối bằng nhau
- Các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết hình bình hành
Hình bình hành là một tứ giác đặc biệt với các dấu hiệu sau:
– Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
– Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
– Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
– Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
– Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
Ví dụ:
Hình bình hành một hình thang đặc biệt với các dấu hiệu sau:
– Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
– Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
Xem thêm: Dấu hiệu nhận biết hình thang
Diện tích hình bình hành
– Diện tích hình bình hành bằng tích của cạnh đáy nhân với chiều cao.
– Công thức tính diện tích hình bình hành: S = a x h
Trong đó:
- a là độ dài cạnh đáy của hình bình hành.
- h là chiều cao được nối từ đỉnh tới đáy của một hình bình hành.
S. ABCD = a.h
Chu vi hình bình hành
– Chu vi hình bình hành được tính bằng tổng độ dài các đường bao quanh hình, cũng chính là đường bao quanh toàn bộ diện tích, bằng 2 lần tổng một cặp cạnh kề nhau bất kỳ.
– Chu vi hình bình hành là tổng độ dài của 4 cạnh.
– Công thức tính chu vi hình bình hành: 2 x (a+b)
Trong đó:
- a và b là độ dài hai kề nhau của hình bình hành.
P.ABCD = 2.(a+b)
Xem thêm: Công thức tính diện tích hình vuông
Xem thêm: Công thức tính diện tích, tính chu vi tam giác
Xem thêm: Công thức tính diện tích, chu vi hình thoi
Xem thêm: Công thức tính chu vi, diện tích hình chữ nhật
Chứng minh một hình là hình bình hành như thế nào?
Để chứng minh một hình là hình bình hành ta dựa trên dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Ví dụ:
Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Hướng dẫn:
EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF = 1/2 AC.
HG là đường trung bình của tam giác ACD nên HG = 1/2 AC.
Suy ra EF = HG
Lại có EF // HG (chứng minh trên)
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành (tứ giác có hai cạnh đối song song là hình bình hành).
Giải bài tập hình bình hành sgk toán 8
Trả lời câu 1 Bài 7 trang 90 sgk toán 8 tập 1
Các cạnh đối của tứ giác ABCD trên hình 66 có gì đặc biệt?
Hướng dẫn:
Tứ giác ABCD có:
– góc A = góc C = 70 độ.
– góc A + góc D = 180 độ.
Mà góc A và góc D ở vị trí cùng phía nên AB // CD
– Góc C + góc D = 180 độ
Mà góc C và góc D ở vị trí cùng phía nên AD // BC
Nên ABCD là tứ giác có hai cạnh bên song song.
=> Tứ giác ABCD là hình thang. Tứ giác ABCD có các cạnh đối song song và bằng nhau
Trả lời câu 2 Bài 7 trang 90 sgk toán 8 tập 1
Cho hình bình hành ABCD (hình 67). Hãy thử phát hiện tính chất về cạnh, về góc, về đường chéo của hình bình hành đó.
Hướng dẫn:
– Sử dụng thước đo chiều dài để đo các cạnh và thước đo độ để đo góc của hình bình hành. Ta thấy:
+ Các cạnh đối bằng nhau: AB=DC, AD=BC
+ Các góc đối bằng nhau: Góc DAB = góc BCD, góc ADC = góc ABC.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Trả lời câu 3 Bài 7 trang 92 sgk toán 8 tập 1
Trong các tứ giác ở hình 70, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao ?
Hướng dẫn:
Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành sau:
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành. a) Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau. b) Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau. c) Tứ giác MNIK không phải là hình bình hành vì có hai góc đối không bằng nhau (góc M = 70 độ còn góc I bằng 75 độ). d) Tứ giác PQRS là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. e) Vì:
góc Y + góc X = 80 độ + 100 độ = 180 độ.
Mà góc X và góc Y ở vị trí trong cùng phía nên XV // YU.
Suy ra tứ giác XYUV là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Giải bài tập 43 trang 92 sgk toán 8 tập 1
Cho các tứ giác ABCD, EFGH, MNPQ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 71 có là hình bình hành hay không?
Bài giải:
Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành:
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
(1 ô vuông coi là 1 đơn vị).
Cả 3 tứ giác đã cho trên hình đều là hình bình hành.
– Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có:
AB // CD và AB = CD = 3.
– Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có:
EH // FG và EH = FG = 3.
– Xét Tứ giác MNPQ:
MN và PQ là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 1 và 5.
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông ta có:
MN = PQ = √(52 + 12) = √26.
MQ và NP là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 1 và 3.
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông ta có:
MQ = NP = √(32 + 12) = √10
Do đó MNPQ là hình bình hành vì có MN=PQ và MQ=NP.
Giải bài tập 44 trang 92 sgk toán 8 tập 1
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh rằng BE=DF.
Bài giải:
Áp dụng dấu hiệu:
- Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
ABCD là hình bình hành nên DE // BF và AD // BC.
E là trung điểm của AD (giả thiết) nên DE = 1/2 AD (tính chất trung điểm).
F là trung điểm của BC (giả thiết) nên BF = 1/2 BC (tính chất trung điểm).
Mà AD = BC (theo chứng minh trên) nên suy ra DE = BF.
Tứ giác BEDF có DE // BF và DE = BF suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành.
=> BE = DF. ( tính chất hình bình hành).
Giải bài tập 45 trang 92 sgk toán 8 tập 1
Cho hình bình hành ABCD (AB>BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.
a) Chứng minh rằng DE // BF.
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
Bài giải:
Áp dụng:
- Hình bình hành có các góc đối bằng nhau.
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
a)
Vì ABCD là hình bình hành (giả thiết).
=> góc ABC = góc ADC (tính chất hình bình hành).(1)
Vì BF là tia phân giác góc ABC (giả thiết)
=> Góc B1 = góc B2 = 1/2 góc ABC (tính chất tia phân giác)(2)
Vì DE là tia phân giác góc ADC (giả thiết).
=> góc D1 = D2 = 1/2 góc ADC (tính chất tia phân giác) (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra góc D2 = góc B1. (4)
Có AB // DC (vì ABCD là hình bình hành).
=> góc B1 = góc F1 (so le trong) (5)
Từ (4) và (5) suy ra góc F1 = D2. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BF. (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
- b) ABCD là hình bình hành (giả thiết).
=> AB // CD hay BE // DF
Xét tứ giác DEBF có BE // DF (chứng minh trên) và DE // BF (theo câu a).
Suy ra tứ giác DEBf là hình bình hành.
Giải bài tập 46 trang 92 sgk toán 8 tập 1
Các câu sau đúng hay sai?
- a) Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
- b) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
- c) Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- d) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
Bài giải:
- a) Đúng, vì hình thang có hai đáy song song lại có thêm hai cạnh đáy bằng nhau nên là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
- b) Đúng, vì khi đó ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành).
- c) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh đối (hai cạnh bên) bằng nhau nhưng nó không phải là hình bình hành).
- d) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không phải là hình bình hành.
Giải bài tập 47 trang 93 sgk toán 8 tập 1
Cho hình 72. Trong đó ABCD là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành
b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh rằng ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Bài giải:
a) Hai tam giác vuông AHD và CKD có:
AD = CB (giả thiết)
góc D1 = góc B1 (so le trong)
Nên tam giác AHD = tam giác CKB (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra AH = CK
Tứ giác AHCK có AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành,
b) Xét hình bình hành AHCK, trung điểm O của đường chéo của hình bình hành). Do đó ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Giải bài tập 48 trang 93 sgk toán 8 tập 1
Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Bài giải:
Áp dụng:
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Giải:
Giải bài tập 49 trang 93 sgk toán 8 tập 1
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:
a) AI // CK
b) DM = MN = NB
Bài giải:
a) Tứ giác ABCD có AB = CD, AD = BC nên là hình bình hành.
Tứ giác AICK có AK // IC, AK = IC nên là hình bình hành.
Do đó AI // CK.
b) tam giác DCN có DI = IC, IM // CN.
(vì AI // CK) nên suy ra DM = MN
Chứng minh tương tự đối với tam giác ABM ta có MN = NB.
Vậy DM = MN = NB (điều phải chứng minh)
Luyện tập nâng cao
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh BE = DF và góc ABE bằng góc CDF.
Hướng dẫn:
Xét tứ giác BEDF có:
=> BEDF là hình bình hành
=> BE = DF (vì dựa theo tính chất hình bình hành có hai cạnh đối song song và bằng nhau)
Ta có: 
– tứ giác ABCD là hình bình hành nên 2 góc đối BAD và BCD bằng nhau. (1)
– BEDF là hình bình hành nên góc BED = góc DFB (2)
Mà: 
Từ (2) và (3), suy ra góc AEB = góc DFC (4).
Xét tam giác ABE, ta có góc BAE + góc AEB + góc ABE = 180 (5).
Xét tam giác DFC có góc DFC + góc FCD + góc FDC = 1800 (6).
Từ (1), (4), (5) => góc ABE = góc CDF (điều phải chứng minh)
Bài tập tự luyện:
1) Cho hình bình hành ABCD trong đó AD = 2AB. Từ C kẻ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì?
b) Tam giác EMC là tam giác gì?
2) Cho hình thang vuông ABCD (góc A = góc D = 90 độ), có AB = 1/2 CD. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng góc BMD bằng 90 độ.
3) Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc A = 120 độ, AB = 4cm, AC = 6cm.
4) Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm của AI và BC. Chứng minh rằng: ADKE là hình bình hành.
5) Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC. Vẽ hình bình hành MDNE. Chứng minh rằng: AN // BC.
6) Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng d chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB’, CC, DD’ lần lượt là khoảng cách từ B, C, D đến d (B, C, D thuộc d). Chứng minh rằng: BB’ + DD’ = CC’
7) Cho hình thang vuông ABCD ( góc A = góc D = 90 độ) có AB = 1/2 CD. Vẽ DH vuông góc AC tại H. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng CH. Chứng minh rằng BM vuông góc DM.
8) Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác ABD vuông cân tại B, ACE vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng tam giác MBC vuông cân.
9) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy D, trên tia đối của tia CA lấy E sao cho BD = CE = BC. Gọi M là giao điểm của BE và CD đường thẳng qua M song song với tia phân giác của góc BAC cắt AC ở F. Chứng minh rằng AB = CF.
Các bài tập phía trên các em tự vận dụng kiến thức và giải bài tập. Mong rằng những bài tập về hình bình hành trên đây giúp các em học tốt và làm được những bài tập nâng cao cho học sinh giỏi. Chúc các em học tốt.
