Đạo hàm là kiến thức vô cùng quan trọng trong môn toán đại số. Hiểu được đạo hảm và thuộc công thức tính đạo hàm sẽ giúp bạn học môn toán tốt hơn và áp dụng vào bài tập nhanh hơn. Tuy nhiên, không phải ai cũng hiểu và thuộc công thức đạo hàm. Bài viết sau đây sẽ giới thiệu đến bạn công thức tính đạo hàm và những kiến thức khác liên quan đến đạo hàm, các bạn cùng tham khảo nhé!
Đạo hàm là gì?
Đạo hàm là tên gọi vô cùng quen thuộc trong môn toán đại số.
Đạo hàm là tỉ số tại điểm x0 giữa số gia của hàm số với số gia của đối số. Giá trị của đạo hàm chính là chiều biến thiên giữa hàm số và độ lớn của biến thiên.
Quy tắc cơ bản của đạo hàm
Dưới đây là quy tắc cơ bản của đạo hàm:
Công thức đạo hàm cơ bản
Đạo hàm được áp dụng và giải bài tập dựa trên rất nhiều công thức, tuy nhiên cơ bản nhất vẫn là những công thức đơn giản nhất của đạo hàm. Dưới đây là những công thức tính đạo hàm cơ bản, bắt buộc bạn phải ghi nhớ nếu muốn học tốt môn toán nhé!
Công thức đạo hàm lượng giác
Trong lượng giác, đạo hàm được áp dụng rất nhiều và có công thức riêng. Dưới đây là các công thức đạo hàm lượng giác, các bạn hãy lưu ý để áp dụng tốt hơn vào bài tập nhé!
Đạo hàm trong giải tích, hàm số thực
Trong giải tích toán học đạo hàm của một hàm số thực chất là sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. Cùng với tích phân (một phép toán ngược lại), đạo hàm là một trong hai khái niệm cơ bản trong giải tích.
Đạo hàm trong hình học
Đạo hàm có biểu diễn trong hình học là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số.
Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.
Bảng đạo hàm và nguyên hàm
Bảng đạo hàm của hàm số biến x
Dưới đây là bảng đạo hàm các hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit cơ bản biến x.
Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản:
Bảng đạo hàm của hàm số biến u = f(x)
Dưới đây là bảng đạo hàm các hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit của một hàm số đa thức u = f(x).
Bảng đạo hàm các hàm số nâng cao:
Các công thức đạo hàm cơ bản
Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Định lý 1:
Đạo hàm của phép toán tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Định lí 3:
Mở rộng:
Đạo hàm của hàm hợp
Định lý: Cho hàm số y = f(u) với u = u(x) thì ta có:
Hãy theo dõi video dưới đây để hiểu rõ hơn về đạo hàm các bạn nhé!
Ý nghĩa của đạo hàm là gì?
– Đối với hình học: Đạo hàm là hệ số góc tại điểm M của tiếp tuyến. Với phương trình tại điểm M là y − y0 = f′(x0)(x − x0)
– Đối với vật lý:
Nếu một chuyển động thẳng s = f(t) ta sẽ có vận tốc tức thời tại t0 là: v(t0) = s′(t0) = f′(t0). Gia tốc tức thời tại t0 chính là phương trình a(t0) = f′′(t0).
Nếu điện lượng Q được truyền trong dây dẫn có phương trình Q = f(t) thì cường độ tức thời tại t0 là I(t0) = Q′(t0) = f′(t0)
Một số đạo hàm thường dùng trong toán học
Các công thức tính đạo hàm thường dùng
Đạo hàm là tên gọi vô cùng quen thuộc trong môn toán đại số. Vậy đạo hàm là gì? Cùng mình theo dõi qua bài viết sau đây để hiểu rõ hơn nhé.
- Đạo hàm là gì?
Đạo hàm là tỉ số tại điểm x0 giữa số gia của hàm số với số gia của đối số. Giá trị của đạo hàm chính là chiều biến thiên giữa hàm số và độ lớn của biến thiên.
- Ý nghĩa của đạo hàm là gì?
công thức đạo hàm
– Đối với hình học: Đạo hàm là hệ số góc tại điểm M của tiếp tuyến. Với phương trình tại điểm M là y − y0 = f′(x0)(x − x0)
– Đối với vật lý:
Nếu một chuyển động thẳng s = f(t) ta sẽ có vận tốc tức thời tại t0 là: v(t0) = s′(t0) = f′(t0). Gia tốc tức thời tại t0 chính là phương trình a(t0) = f′′(t0).
Nếu điện lượng Q được truyền trong dây dẫn có phương trình Q = f(t) thì cường độ tức thời tại t0 là I(t0) = Q′(t0) = f′(t0)
- Một số đạo hàm thường dùng trong toán học
– Đối với các hàm số cơ bản ta có bảng đạo hàm như sau:
Gọi biến là x ta có:
(xα)’ = α.xα-1
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = – sin x
(tan x)’ = 1cos2x = 1 + tan2 x
(cot x)’ = −1sin2x = -(1 + cot2 x)
(logα x)’ = 1x.lnα
(ln x)’ = 1x
(αx)’ = αx . lnα
(ex)’ = ex
– Đối với hàm số nâng cao
Hàm số nâng cao bao gồm các hàm số đa thức, lượng giác, mũ và logarit.
Giả sử biến là u = f(x) ta có:
(uα)’ = α.u’.uα-1
(sin u)’ = u’.cos u
(cos u)’ = – u’.sin u
(tan u)’ = u′cos2u = u'(1 + tan2 u)
(cot u)’ = −usin2u = -u'(1 + cot2 x)
(logα u)’ = uu.lnα
(ln u)’ = uu
(αu)’ = u’.αu.lnα
(eu)’ = u’.eu
Đạo hàm của một số hàm số cơ bản
Các hàm số cơ bản được tính theo các công thức như sau:
Với hàm số y = xn, (n∈N,n>1) có công thức tính đạo hàm là: (xn)′ = nxn – 1với mọi x ∈ R. Tại công thức này ta có (C)’ = 0 (với C là hằng số), (x)’=1.
Với hàm số y = x − −√ có công thức đạo hàm là (x − −√′ = 12x√, với mọi biến x dương.
Đối với các phép toán
Giả sử biến u = u(x) và v = v(x) ta có:
Công thức tính đạo hàm tại x trong khoảng xác định là:
(u + v) = u + v(u–v) = u – v(u.v) = u.v + u.v(uv) = uv − uvv2, với v(x) ≠ 0
Từ phương trình trên mở rộng ra ta có: (u1 + u2 + …+ un) = u1′ + u2′ +…+ un.
Khi đó xảy ra hai trường hợp: Nếu k là hằng số thì (ku)’ = ku’. Nếu (1v)′ = v′v2 và v(x) ≠ 0 thì ta có (u.v.w)′ = u′.v.w + u.v′.w + u.v.w′
Đối với hàm hợp
Với u = u(x) ta có hàm số y = f(u). Khi đó có phương trình: y′u = y′u.u′x
Đối với (1) xảy ra trường hợp (un) = n.un – 1.u, với n∈N và (u−−√)′ = u′2u√.
Đối với hàm lượng giác
Ngoài những công thức về hàm số, phép toán, hàm hợp. Ta còn có những công thức tính đạo hàm dựa vào hàm lượng giác như sau:
sin(x)’ = 11– x2√cos(x)’ = −11– x2√tan(x)’ = 1 x 2 + 1
Đối với đạo hàm cấp 2
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x, với x ∈ (a; b). Khi đó ta có hàm số cấp 2 là y’ = f'(x) với x ∈ (a; b).
Kí hiệu đạo hàm cấp 2 là y” hoặc f”(x).
Đạo hàm cấp hai f”(t) chính là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là S = f(t)
Đối với đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n-1 được kí hiệu f (n-1) (x), với n ∈ N, n ≥ 4).
Nếu f (n-1) (x) có đạo hàm thì đó là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), y (n), f (n), (x).
Với f (n) (x) = [f (n-1) (x)]’ ta có công thức tính đạo hàm ở cấp cao là:
(x m)(n) = m(m – 1)(m – 2)…(m – n + 1).xm – n (với m ≥ n)
(x m)(n) = 0 (với m ≤ n)
Đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ
Hàm phân thức hữu tỉ dạng P(x)/Q(x) trong đó P, Q là các đa thức biến x.
Bài tập liên quan đến công thức tính đạo hàm
Dạng bại tập phổ biến thường gặp là tính đạo hàm tại một điểm (hàm số y=f(x), với x0. Do vậy bài viết sẽ có ví dụ minh họa về dạng này để các bạn tham khảo.
Phương pháp để giải bài tập đạo hàm dạng này là chúng ta phải nắm được định nghĩa của đạo hàm là gì? Từ đó sẽ xác định được tại thời điểm bằng 0 sẽ có giá trị như thế nào. Đồng thời xác định được hàm số sau: f′(x0) = limx → x0(f(x) − f(x0)x − x0
Đề bài: Dùng định nghĩa và công thức tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số f(x)=x2 + 4x tại điểm x0 = 2
Trả lời:
Dựa vào phương trình f′(x0) = limx → x0(f(x) − f(x0)x − x0 ta có:
f′(2) = limx → 2(f(x) − f(2)x − 2)
= limx → 2((x2+4x) − 12x − 2)
= limx → 2(x+6) = 8
Bài viết trên đã cung cấp cho bạn những kiến thức liên quan đến công thức đạo hàm cùng những bài tập ứng dụng đạo hàm điển hình. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích được cho bạn trong việc học tập và cải thiện môn toán của mình nhé!
