Hệ thức lượng trong tam giác vuông là kiến thức hình học nâng cao hơn liên quan đến công thức lượng giác. Với học sinh lớp 9, có lẽ phần kiến thức này sẽ là nền tảng cơ bản để có thể bước lên cấp 3. Hệ thức lượng giác bao gồm những phần kiến thức cơ bản nào? Ghi nhớ những gì để vận dụng tốt hơn?
Nếu bạn đang muốn tìm tài liệu cho phần kiến thức này, thì ở bài viết bên dưới đây chúng tôi sẽ chia sẻ lượng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông đầy đủ nhất cho bạn, để có thể giúp bạn nhiều hơn trong học tập.
Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho ΔABC, góc A bằng 90 độ, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:
+ BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC
+ CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC
Khi đó, ta có:
1) (AB)^2 = BH.BC hay c^2 = a.c’
(AC)^2 = CH.BC hay b^2 = a.b’
2) (AH)^2 = CH.BH hay h^2 = b’.c’
3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h
5) (AB)^2 + (AC)^2 = (BC)^2 hay b^2 + c^2 = a^2 (Định lý Pytago)
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Định nghĩa
Định lí
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.
- a) Cho α,β là hai góc nhọn.
Nếu α < β thì: sinα < sinβ; tanα < tanβ; cosα > cosβ; cotα > cotβ
- b) sinα < tanα; cosα < cotα
Hệ thức cơ bản
Tổng kết ghi nhớ
Công thức, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
– Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề
– Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề
b = a.sinB = a.cosC
c = a.sinC = a.cosB
b = c.tanB = c.cotC
c = b.tanB = b.cotC
Bạn có thể tham khảo bài học về Hệ thức lượng trong tam giác vuông tại đây:
Bài tập ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Biết AH = 6 cm, HC – HB = 3,5 cm. Tính độ dài AB, AC.
Bài giải:
Ta có: (AH)^2 = BH.CH ⇒ BH.CH = 36
Mặt khác: CH – BH = 3.5 (1)
⇒ (CH – BH)^2 = 3.52 = 12.25
Ta có: (CH + BH)^2 = (CH – BH)^2 + 4BH.CH = 12.25 + 4.36 = 156.25
⇒ CH + BH = √156.25 = 12.5 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ CH = 8; BH = 4.5
Ta có: AB^2 = BH.BC = 4.5.12.5 = 56.25 ⇒ AB = 7.5 (cm)
AC^2 = CH.BC = 8.12.5 = 100 ⇒ AB = 10 (cm)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và AC. Đặt BC = a; CA = b; AB = c; AH = h; BD = x; CE = y. Chứng minh rằng:
- a) (a^2).x = c^3; (a^2).y = b^3
- b) a.x.y = h^3
Bài giải:
- a) Đặt BH = c’; CH = b’
Xét ΔBDH và ΔBAC có:
⇒ a.x = c.c’
⇒ a.a.x = a.c.c’ hay (a^2).x = a.c.c’
Mặt khác a.c’ = c^2 nên (a^2).x = c.(c^2) ⇒ (a^2).x = c^3
Chứng minh tương tự, ta được (a^2).y = b^3
- b) Ta có: (a^2).x.(a^2).y = c^3.b^3
Lại có: b.c = a.h nên a^4.xy = a^3.h^3
⇒ a.xy = h3
Bài tập 3. Góc nhọn
Cho tam giác ABC, Góc ABC lớn hơn 0 độ và nhỏ hơn 90 độ. Chứng minh diện tích tam giác ABC = 1/2.(AB.BC.SinB)
Bài giải:
Kẻ AH vuông góc với BC, H ∈ BC
Ta có: SABC = 1/2.AH.BC (1)
Xét tam giác ABH vuông tại H có:
sinB = AH/AB ⇒ AH = AB.sinB (2)
Từ (1) và (2),ta có S = 1/2.(AB.BC.SinB)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21 cm.
Tính các cạnh của tam giác ABC .
Bài giải:
Theo giả thiết: AB : AC = 3 : 4 => suy ra AB/3 = AC/4 = (AB + AC)/(3 + 4)
Do đó AB = 3 x 3 = 9 cm; AC = 3 x 4 = 12 cm.
Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có: (BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2 = (9^2). (12^2) = 225 cm , suy ra BC = 15 cm .
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = x, AC = y, AH = 2, BC = 5. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài là?
Bài giải:
Ta có: x^2 + y^2 = 5^2 = 25 và x.y = 5.2 = 10 (*)
⇒ (x + y)^2 = 45 ⇒ x + y = 3√5 ⇒ x = 3√5 – y
Thay vào (*) ta được:
(3√5 – y)y = 10 ⇔ y = √5; y = 2√5
⇒ x = 2√5; x = √5
Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác là √5.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = AC = y, AH = 5, BH = CH = x. Xác định x và y.
Bài giải:
Ta có: AH^2 = BH.CH ⇒ 5^2 = x^2 ⇒ x = 5
AB.AC = AH.BC ⇔ y^2 = 5.10 ⇔ y = 5√2
Bài 7: Cho tam giác ABC có góc B bằng 450, góc C bằng 300. Nếu AC = 8 thì AB bằng bao nhiêu?
Bài giải:
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC
Xét tam giác AHC vuông tại H, góc ACH bằng 30 độ có:
AH = AC.sin30 = 4 (cm)
Xét tam giác AHB vuông tại H, góc ABH bằng 45 độ có:
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại C có sinA = 2/3 thì tan B bằng bao nhiêu?
Bài giải: Tam giác ABC vuông tại C có sinA = 2/3
sin2 A + cos2 A = 1 ⇒ cosA = √5/3
Do góc A cộng góc B bằng 900 nên
cosB = sinA = 2/3; sinB = cosA = √5/3
Bài 9: Cho tam giác ABC, góc A bằng 600, đường phân giác AD. Chứng minh rằng:
Ta có: SABC = SABD + SADC
Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD = BC. Chứng minh rằng sinA ≥ sinB.sinC.
Bài giải:
Vẽ AH vuông góc với BC
Gọi S là diện tích tam giác ABC
Xét các tam giác ABH và ACH vuông tại H, ta có:
AH = AB.sinB = AC.sinC
⇒ (AH)^2 = AB.AC.sinB.sinC
Ta có: AD ≥ AH (dấu bằng xảy ra khi D ≡ H)
Do đó: BC ≥ AH ⇔ BC.AH ≥ (AH)^2 = AB.AC.sinB.sinC (1)
Mặt khác, ta có: BC.AH = 2S = 2.1/2 AB.AC.sinA (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AB.AC.sinA ≥ AB.AC.sinB.sinC
Hay sinA ≥ sinB.sinC
Dấu bằng xảy ra khi D trùng với H.
Hy vọng với nội dung lý thuyết về hệ thức lượng trong tam giác vuông mà lessonopoly chúng tôi chia sẻ, bạn có thể ghi nhớ và vận dụng tốt hơn vào những dạng bài tập khác nhau. Kiến thức về toán học luôn tạo ra cho bạn một tư duy logic, một sự nhanh nhẹn, khơi gợi sự tò mò về những điều chưa biết đầy thú vị. Hãy bắt đầu với những kiến thức cơ bản như hệ thức lượng trong tam giác vuông bằng những bài tập ví dụ như ở trên bạn nhé.
