Trong toán hình học, có rất nhiều phép bạn phải ghi nhớ để giải bài tập trong đó có phép vị tự. Phép vị tự thường rất dễ nhầm với những phép khác nên đòi hỏi bạn phải lưu ý thật kĩ. Bài viết sau đây lessonopoly sẽ gửi đến bạn lý thuyết về phép vị tự cũng như bài tập áp dụng về phép vị tự. Các bạn hãy cùng tham khảo nhé!
Định nghĩa về phép vị tự
Cho điểm O và số k khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho 
được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k, ký hiệu V(I,k).
Tham khảo video sau đây sẽ giúp bạn hiểu hơn về phép vị tự:
Tính chất của phép vị tự
Nếu V(I,k)
Phép vị tự tỉ số k:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.
Biến một đường thẳng thành đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng góc đã cho.
Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R.
Biểu thức tọa độ của phép vị tự
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
Tâm vị của hai đường tròn
Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia, tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn (I;R) và (I’;R’).
Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn.
Nếu I khác I’ và R bằng R’ thì
Xem thêm: Tổng hợp lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9, kèm bài tập vận dụng
Xem thêm: Công thức tính diện tích, tính chu vi tam giác thường và các tam giác đặc biệt chính xác nhất
Các dạng bài tập về phép vị tự
Dạng toán 1. Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự
Phương pháp: Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình là 5x + 2y – 7 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, có đường tròn C
Tìm ảnh của đường tròn C qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k = 3.
Dạng toán 2. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn
Phương pháp: Sử dụng phương pháp tìm tâm vị tự của hai đường tròn đã trình bày ở phần A-4.
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn C:
Tìm tâm vị của hai đường tròn.
Ta có đường C có tâm I (1;2) bán kính R = 2, đường tròn C’ có tâm I’(8;4) bán kính R’ = 4.
Dạng toán 3. Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán dựng hình
Phương pháp: Để dựng một hình (H) nào đó ta quy về dựng một số điểm (đủ để xác định hình (H) ) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đó một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác.
Ví dụ 4: Cho 2 điểm B, C cố định và hai đường thẳng d1, d2. Dựng tam giác ABC có đỉnh là A thuộc d1 và trọng tâm G thuộc d2.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi I là trung điểm của BC , theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:
Cách dựng hình:
Dựng đường thảng d2’ ảnh của d2 qua điểm V(1;3).
Dựng giao điểm
Dựng giao điểm
Hai điểm A và G là hai điểm cần dựng.
Chứng minh: Rõ ràng từ cách dựng ta có A thuộc d1 và G thuộc d2, I là trung điểm của BC và V(I;3) (G) = A.
là trọng tâm của tam giác ABC.
Nhận xét: Số nghiệm hình của bài toán bằng số giao điểm của d1 và d2.
Ví dụ 5. Cho hai đường tròn đồng tâm C1 và C2. Từ một điểm A trên đường tròn lớn C1 hãy dựng đường thẳng d cắt C2 tại B,C và cắt C1 tại D sao cho AB = BC = CD.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường thẳng d cắt C1 tại D và C1 tại B, C sao cho AB = BC = CD , khi đó:
Cách dựng:
Dựng đường tròn C2’ ảnh của đường tròn C2 qua phép vị tự V(A; ½).
Dựng giao điểm B của C2 và C2’.
Dựng đường thẳng d đi qua A, B cắt đường tròn C2, C1 tại C, D tương ứng. Đường thẳng d chính là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh:
Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC.
Vậy AB = BC = CD.
Nhận xét: Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của đường tròn C1 và C2.
Trong chương trình toán hình học lớp 11, phép vị tự là một phép được ứng dụng rất nhiều trong các bài tập. Vậy nên bạn hãy lưu ý và học thuộc những tính chất liên quan đến phép vị tự để dễ dàng áp dụng và các bài toán nhé!
