Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng, nghịch biến trên khoảng là kiến thức đại số cực kì quan trọng của chương trình toán học phổ thông. Phần tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, tính đơn điệu của hàm số sẽ có mặt trong kì thi đại học, trung học phổ thông quốc gia. Vì vậy các em cần nắm vững kiến thức cũng như vận dụng để làm tốt những dạng bài tập này.
Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
1. Định nghĩa
– Cho hàm số y= f(x) xác định trên D, trong đó D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng. Với x1 < x2 thuộc (a,b). Và (a,b) thuộc D.
a) Hàm số y= f(x) đồng biến trên D nếu mọi x1, x2 thuộc D, x1 < x2 => f(x1) < f(x2).
b) Hàm số y= f(x) nghịch biến trên D nếu mọi x1, x2 thuộc D, x1 < x2 => f(x1) > f(x2).
– Hiểu đơn giản là:
a) Nếu như x1 < x2 và f(x1) < f(x2) thì hàm số đồng biến trên D. Có nghĩa là khi biến x tăng mà hàm y cũng tăng theo, khi biến x giảm thì y cũng giảm theo thì hàm số đó làm hàm số đồng biến.
b) Nếu như x1 < x2 và f(x1) > f(x2) thì hàm số nghịch biến trên D. Có nghĩa là khi biến x giảm mà hàm y lại tăng thì hàm số đó là hàm số nghịch biến.
2. Định lý
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên.
a) Nếu f'(x)> 0 với mọi x thuộc D thì hàm số f(x) đồng biến trên D
b) Nếu f'(x)< 0 với mọi x thuộc D thì hàm số f(x) nghịch biến trên D.
c) Nếu f'(x)= 0 với mọi x thuộc D thì hàm số f(x) không đổi trên .
Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f'(x)> 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến trên đoạn[a;b] . Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f'(x)< 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số nghịch biến trên đoạn [a;b].
3. Định lý mở rộng
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên D.
a) Nếu f'(x)> 0 với mọi x thuộc D và f(x)= 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của D thì hàm số f(x) đồng biến trên D.
b) Nếu f'(x)< 0 với mọi x thuộc D và f(x)= 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của D thì hàm số f(x) nghịch biến trên D .
Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng
Bước 1. Tìm tập xác định.
Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x1, x2,…n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ: Xác định tính đơn điệu của hàm số sau:
a) 
b) 
c) 
Lời giải:
- a)
– Tập xác định D=R
Ta có: y’= 3-2x
Cho y’= 0 <=> 3-2x = 0 <=> x = 3/2
Tại x = 3/2 => y = 25/4
Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng từ (-∞;3/2) và nghịch biến trên khoảng từ (3/2; +∞).
b)
– Tập xác định D=R
Ta có: y’= x2 + 6x – 7
Cho y’= 0 <=> x = hoặc x = -7.
Tại x = 1 => y = (-17/3), tại x = -7 => y = 239/3.
Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng từ (-∞;-7) và (1;+∞), nghịch biến trên khoảng từ (-7; 1).
c)
– Tập xác định D=R
Ta có: y’= x4 – 2×2 + 3
Cho y’= 0 <=> 4×3 – 4x = 0 <=> 4x(x – 1)(x + 1) = 0.
<=> x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1.
Tại x = 0 => y = 3
Tại x = 1 => y = 2
Tại x = -1 => y = 2.
Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng từ (-1; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng từ (-∞; 1) và (0; 1).
Ví dụ: Xác định tính đơn điệu của hàm số sau:
a) 
b) 
Lời giải:
a)
b)
Phương pháp tìm m đề hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
Lý thuyết :
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f′(x)≥ 0, với mọi x thuộc K thì f(x) đồng biến trên K.
Nếu f′(x)≤ 0, với mọi x thuộc K thì f(x) nghịch biến trên K.
(Dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức Δ=b2−4ac. Ta có:
– f(x)≥ 0, với mọi x thuộc R <=> a> 0 và Δ ≤ 0.
– f(x)≤ 0, với mọi x thuộc R <=> a< 0 và Δ ≤ 0.
Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K. Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính đạo hàm f’(x,m). Đưa bất phương trình f'(x) về dạng g(x) ≥ m
Bước 2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K <=> f′(x,m)≥ 0, với mọi x thuộc K <=> m ≥ g(x), với mọi x thuộc K (m ≤ g(x) )
Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Rút m theo x
Bước 1. Tính đạo hàm f'(x,m), đưa về dạng bậc 2.
Bước 2. Xét f'(x, m) bằng 0
Bước 3. Rút x và m sang hai vế dạng g(x) = m
Bước 4. Dựa vào điều kiện dưới đây để suy ra m.
– f(x)≥ 0, với mọi x thuộc R <=> a> 0 và Δ ≤ 0.
– f(x)≤ 0, với mọi x thuộc R <=> a< 0 và Δ ≤ 0.
Ví dụ:
Cho hàm số y = x³ – (m + 1)x² – (m² – 2m)x + 2020. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).
Kết luận: vậy với m thuộc [1; 3/2] thì hàm số y = x³ – (m + 1)x² – (m² – 2m)x + 2020 nghịch biến trên khoảng (0;1).
Lập bảng biến thiên, xét dấu
Bước 1. Tính đạo hàm f’(x,m). Đưa bất phương trình f'(x) về dạng g(x) ≥ m
Bước 2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K <=> f′(x,m)≥ 0, với mọi x thuộc K <=> m ≥ g(x), với mọi x thuộc K (m ≤ g(x) )
Bước 3. Lập bảng biến thiên . Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Xem thêm: Công thức đạo hàm đầy đủ nhất
Ví dụ:
Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 3(m + 1)x – (m – 1).
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞]
b) Tìm m để hàm số đồng biến [-1; 3].
Lời giải:
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞]
– Tập xác định: D=R
– Ta có f'(x) = 3x2 – 6x – 3(m + 1).
– Để hàm số đồng biến trên [1; +∞] thì f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc [1; +∞].
=> 3x2 – 6x – 3(m + 1) ≥ 0, với mọi x thuộc [1; +∞]
=> x2 – 2x – 1 ≥ m, với mọi x thuộc [1; +∞]
Đặt y(x) = x2 – 2x – 1 => y'(x) = 2x – 2.
y'(x) = 0 <=> x = 1.
Lập bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên ta có:
y(x) ≥ m, với mọi x thuộc [1; +∞]
Min[y(x)] trong khoảng từ [1; +∞] = -2 ≥ m => m ≤ 2.
Kết luận: Vậy với m = -2 thì hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 3(m + 1)x – (m – 1) đồng biến trên khoảng từ [1; +∞].
b) Tìm m để hàm số đồng biến [-1; 3].
– Tập xác định: D=R
– Ta có f'(x) = 3x2 – 6x – 3(m + 1).
– Để hàm số đồng biến trên [-1; 3] thì f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc [-1; 3].
=> 3x2 – 6x – 3(m + 1) ≤ 0, với mọi x thuộc [-1; 3].
=> x2 – 2x – m – 1 ≤ 0, với mọi x thuộc [-1; 3]
=> x2 – 2x – 1 ≤ m, với mọi x thuộc [-1; 3]
Đặt y(x) = x2 – 2x – 1
=> y'(x) = 2x – 2
Cho y'(x) = 0 <=> x = 1.
Lập bảng biến thiên ta có:
Từ bảng biến thiên ta y(x) ≤ m, với mọi x thuộc [-1; 3]
=> Max[y(x)] với x thuộc [-1; 3] = 2 ≤ m => m ≥ 2.
Kết luận: Vậy với m m ≥ 2 thì hàm số đồng biến trên [-1; 3]
Ví dụ tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Cho hàm số y = x3 + 2(m + 1)x2 – 3mx + 5 – m, với m là tham số. Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên R.
Lời giải:
Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Lời giải:
Kết luận: Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước
Ví dụ 1:
Lời giải:
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng cho trước
Tìm a để hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 1
Bài tập tự luyện
- Tìm m để hàm số
đồng biến trên đồng biến trên (-∞; 0) - Tìm m để hàm số
đồng biến trên đồng biến trên [2; +∞ ) - Tìm m để hàm số
đồng biến trên đồng biến trên (2; +∞ ) - Tìm m để hàm số
đồng biến trên nghịch biến biến trên (-∞; 1). - Tìm m để hàm số
đồng biến trên nghịch biến trên [1; +∞ ). - Tìm a để hàm số
đồng biến trên đồng biến trên (2; +∞ ) - Tìm m để hàm số
đồng biến trên đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 2) và (2; +∞ ) - Tìm a để hàm số
đồng biến trên mỗi khoảng có hoành độ thỏa 1≤|x|≤ 2. - Tìm m để hàm số
đồng biến trên nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4. - Tìm m để hàm số
đồng biến trên nghịch biến biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4. - Tìm tất cả các giá trị m để hàm số
đồng biến trên R - Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
đồng biến trên R. - Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
đồng biến trên (1;+∞) - Cho hàm số .Tìm tất cả giá trị của m để hàm số
nghịch biến trên R. - Tìm m để hàm số
nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. - Tìm m để hàm số
đồng biến trên khoảng (2;+∞) - Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
đồng biến trên khoảng
- Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
nghịch biến trên (-1;1). - Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx luôn nghịch biến trên R?
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng không hề khó. Chủ yếu dựa vào đạo hàm và lập bảng biến thiên. Vậy nên các em hãy cố gắng làm thật nhiều bài tập là có thể giải quyết những bài toán này. Truy cập lessonopoly để cập nhật những bài học đại số quan trọng khác nữa trong chương trình lớp 10.
